Pi ist eine Naturkonstante, die einem immer wieder bei Kreisberechnungen über den Weg läuft. Das Interessante an Pi ist, dass Pi irrational ist, was bedeutet, dass die Zahl unendlich viele Nachkommastellen hat, die sich nicht periodisch wiederholen. Man nennt Pi wie auch die Euler'sche Zahl e sogar transzendent, weil man sie nicht als Wurzeln schreiben kann. Pi lässt sich auch nicht direkt berechnen, sondern nur zwischen zwei Zahlen einschachteln.

Die Berechnung von Pi ist nur mathematisch interessant und eine Spielerei, die schon die antiken Griechen faszinierte; letzten Endes ist es immer sinnvoller einen definierten Näherungswert als Konstante zu nehmen, als Pi auszurechnen. Dennoch ist es interessant, sich klar zu machen, wie man Pi berechnen kann.

Wie schon gesagt gibt es keine direkte Formel zum Berechnen von Pi. Man kann Pi nur zwischen zwei Zahlen einschachteln. Die einfachste Möglichkeit ist, dass man in und um den Kreis ein Quadrat zeichnet, wie es einst Archimedes getan hat:

Abbildung 1: der Kreis kann auf Grund von optischen Täuschungen verzerrt vorkommen

Der Flächeninhalt des äußeren Quadrates ist (2r)² = 4r², da jede Seite die 2fache Länge des Radius' r hat. Der Flächeninhalt des inneren Quadrats lässt sich mit Hilfe der blauen Diagonale ausrechnen: Diese unterteilt das Viereck in zwei gleichschenklige Dreiecke, deren Flächeninhalt sich mit der Formel ausrechnen lässt. Dabei ist g die blaue Linie, die 2r lang ist, und h die Höhe von 1r. Damit lässt sich folgendes ausrechnen:

Und damit

Der Kreis liegt zwischen den beiden Quadraten, somit liegt auch der Flächeninhalt dazwischen. Es gilt also

Der Mittelwert besagt also

Da für Flächeninhalte von Kreisen gilt, können wir schließen, dass ist.

Dieses Verfahren lässt sich ausbauen, indem man Vielecke mit mehr Ecken nimmt, so dass man immer näher an den Kreis kommt und die Einschachtelung immer genauer wird. Allerdings wird das, was beim Quadrat und auch noch beim Sechseck relativ simpel war, bei 96-Ecken ziemlich unüberschaubar, was Archimedes aber nicht davon abgehalten hat, es damit auszurechnen.

Wenn man Archimedes' Verfahren in Visual Basic nachkonstruieren möchte, nimmt man am besten immer 2^x-Ecke, weil man hier äußerst bequem inneren und äußeren Flächeninhalt ausrechnen kann. Umgesetzt sieht das dann so aus:

' Erstellt Pi aufgrund des Archimedes-Verfahren
' mit einem 2 ^ 26 Eck.
Private Function Pi() As Double
    Dim a       As Double
    Dim b       As Double
    
    a = 2 * Sqr(3)
    b = 3
    
    Do Until a = b
        a = 2 * a * b / (a + b)
        b = Sqr(a * b)
    Loop
    
    Pi = a
    
End Function

Listing 1

Diese Version läuft so optimiert in Visual Basic sehr schnell, auch wenn man sich klar machen sollte, dass hierbei ein 2²⁶-Eck ausgerechnet wird, sprich ein 402.653.184 Eck. Was für den Computer kein Problem ist, ist für uns eben nicht immer ganz so leicht...

Eine andere Methode ist es, keine Vielecke in Kreise zu konstruieren, sondern anhand von Streifen vorgeht:

Man unterteilt einen Viertelkreis in verschieden viele Streifenpaare, je mehr Streifenpaare man nimmt, desto genauer wird später der Näherungswert von Pi. Der erste Streifen geht von dem Boden des Viertelkreises so hoch, bis er mit der ersten Ecke den Kreis berührt. Der äußere Streifen geht von dem Boden des Viertelkreises so hoch, dass die zweite Ecke gerade noch den Kreis berührt. Das Ganze sollte dann so aussehen (die schrägen roten Geraden werden später erklärt):

Abbildung 2

Wenn man nun alle Flächeninhalte der inneren Streifen zusammenzählt und den aller äußeren Streifen, hat man den Flächeninhalt und damit Pi schon bedeutend näher eingekreist. Zur Berechnung der Flächeninhalte der Streifen lässt sich folgendes sagen:

Die Breite ist eindeutig, und zwar 1/n * r, wobei n die Anzahl der Streifen ist. Die Höhe lässt sich mit dem Satz des Pythagoras berechnen, womit sich jetzt die roten schrägen Geraden erklären.

Man hat hierdurch ein rechtwinkliges Dreieck von dem man zwei Seitenlängen kennt. Zum einen dem Abstand vom Mittelpunkt des Kreises zu dem Streifen und zum anderen die Länge der roten Geraden, nämlich r. Dass heißt, dass man mithilfe des Satzes von Pythagoras die dritte Seitenlänge ausrechnen kann:

Laut a² + b² = c² gilt hier zum Beispiel für den fünften Streifen, den ich y5 nenne:
(5 * 1/n * r)² + y5² = r²
y5² = r² - (5 * 1/n * r)²

Jetzt setze man n gleich 10 und voilà:

Somit ist der Flächeninhalt des 5. inneren Streifens:

Die äußeren Streifen lassen sich auch einfach berechnen, da sie als Höhe schlicht die Höhe des links daneben liegenden inneren Rechtecks haben. Aufgepasst werden muss, dass es so scheint, als gäbe es einen äußeren Streifen mehr - in Wirklichkeit hat nur der letzte innere Streifen eine Höhe von 0.

Nun kann man die beiden Streifensortimente zusammenrechnen und wieder den Mittelwert bilden, so dass man einen relativ genauen Mittelwert des Flächeninhaltes des Viertelkreises bekommt. Mit vier multipliziert erhält man nun den gesamten Flächeninhalt, der hier so aussieht:

Und damit

Das Ganze auf dem Taschenrechner zu tippen ist äußerst mühsam zumal die Spanne zwischen beiden Werten immer noch 0,4 beträgt, was nach einer Berechnung mit hundert, zehntausend oder einer Millionen Streifen schreit. Deswegen lohnt es sich auch hier, das Ganze in ein Programm zu fassen:

Den Streifen-Algorithmus in Visual Basic zu schreiben ist nicht schwer; es ist eher ein Problem der Zeit, die zur Berechnung gebraucht wird. Denn dieser Algorithmus ist in der Ausführung langsamer als die vorherige Version:

'gibt Pi zurück;
'Stripes ist die Anzahl der Streifen,
'die die Funktion ausrechnen soll.
'Je mehr Streifen, desto langsamer, aber genauer.

Private Function Pi(Stripes As Long) As Double
    Dim I As Long 'zum Zählen
    Dim OneStep As Double 'Breite eines Streifens
    Dim S_Values As Double 'Zwischenspeichern der Flächeninhalte
    
    If Stripes < 1 Then Stripes = 1000
    
    OneStep = 1 / Stripes
    
    For I = 1 To Stripes
        S_Values = S_Values + Sqr(1 - (I * OneStep) ^ 2) * OneStep
        If I / 10000 = I \ 10000 Then DoEvents
    Next
    
    Pi = (S_Values + OneStep / 2) * 4
End Function

Listing 2

Wenn man die beiden obigen Codes anschaut, merkt man, dass die Rückgabewerte Doubles sind. Während dem Ingenieur in der Praxis schon eine Nachkommastelle genügt, reichen dem Freund der Zahl Pi die verhältnismäßig wenig Nachkommastellen eines Doubles nicht. Es ist eine Spielerei einiger Leute den Rekord an bekannten Nachkommastellen zu brechen, auf www.pibel.de zum Beispiel kann man Pi als PDF mit 10 Millionen Nachkommastellen herunterladen, was natürlich weit unter dem Wert liegt, der auf den Festplatten einiger Supercomputer schlummert.

Das Problem in Visual Basic ist, dass es keinen Typ gibt, der mehr Nachkommastellen speichern kann als ein Double. Also muss man die Rechenaufgabe geschickt teilen und den Rückgabewert letztlich als String handhaben. Um das zu lösen, habe ich ein altes QuickBasic Projekt von Jason Stratos Papadopoulos, welches ich auf BasicGuru.com fand, nach Visual Basic übersetzt.

Das Programm nimmt zwei Formeln zur Hand, die eine von Leonhard Euler, die da lautet:

Abbildung 3

Zum anderen benutzt er eine Formel von James Gregory, die es einem ermöglicht, Teile der hier entstehenden Brüche zu berechnen. Diese Teile werden dann in einem Array gespeichert und darin weiterverarbeitet, so dass es möglich wird, Pi mit beliebig vielen Nachkommastellen zu berechnen. Beeindruckend ist hierbei die atemberaubende Geschwindigkeit dieses Codes.

Da der Code ein wenig länger ist, ist er hier nicht abgedruckt, aber im Beispielprojekt lässt er sich leicht finden.

Alle Methoden, Pi zu bestimmen, aufzuzählen, würde den Rahmen dieser Kolumne eindeutig sprengen. Ich habe hier einige aufgezählt, aber wer bei Google sucht, wird noch viele andere Methoden finden, wie zum Beispiel Monte Carlos, welches Pi mit Hilfe des Zufalles bestimmt.

Es ist eine interessante Sache, zu verstehen, wie man Pi berechnen kann. Im Gegensatz zur Meinung vieler Leute, Pi gehe aus einer einfachen Division oder Ähnlichem hervor, ist es so, dass man sich Pi nur immer näher annähern kann, es "einkesseln" kann. Es ist und bleibt eine Spielerei Pi zuberechnen, da man in realen Projekten stets einen Näherungswert nehmen wird - schon allein um Zeit zu sparen.

Anbei ist ein Beispielprojekt, welches neben dem Berechnen von Pi auch die Streifenmethode grafisch darstellen kann.

Claus von der Burchard

Download des Beispielprojektes